引言

如何通俗易懂地理解卷积？

连续形式的一维卷积

在泛函分析中，卷积是通过两个函数f(x)和g(x)生成第三个函数的一种算子，它代表的意义是：两个函数中的一个(取g(x)，可以任意取)函数，把g(x)经过翻转平移,然后与f(x)的相乘，得到的一个新的函数，对这个函数积分，也就是对这个新的函数求它所围成的曲边梯形的面积。

设f(t),g(t)是两个可积函数，f(t)与g(t)的卷积记为f ( t ) ∗ g ( t ) f(t)g(t)f(t)∗g(t*)，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数乘积的积分，是一个自变量是平移量的函数。也就是：

$f(t) * g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau) g(\tau) d \tau$

离散形式的一维卷积

对于定义在整数$\mathbb{Z}$上的函数f,g,卷积定义为

$(f * g)(t)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)$

实例:掷骰子问题

光看数学定义可能会觉得非常抽象，下面举一个掷骰子的问题，该实例参考了知乎问题”如何通俗易懂地解释卷积”的回答。

想象现在有两个骰子，两个骰子分别是f跟g，f(1)表示骰子f向上一面为数字1的概率。同时抛掷这两个骰子1次，它们正面朝上数字和为4的概率是多少呢？相信读者很快就能想出它包含了三种情况，分别是：

f向上为1，g向上为3；
f向上为2，g向上为2；
f向上为3，g向上为1；

最后这三种情况出现的概率和即问题的答案，如果写成公式，就是$\sum_{\tau=1}^{3} f(\tau) g(4-\tau)$。可以形象地绘制成下图：

果稍微扩展一点，比如说认为 f(0) 或者 g(0)等是可以取到的，只是它们的值为0而已。$\sum_{\tau=-\infty}^{\infty} f(\tau) g(4-\tau)$。仔细观察，这其实就是卷积(f∗g)(4)。如果将它写成内积的形式，卷积其实就是

$[f(-\infty), \cdots, f(1), \cdots, f(\infty)] \cdot[g(\infty), \cdots, g(3), \cdots, g(-\infty)]$

这么一看，是不是就对卷积的名字理解更深刻了呢? 所谓卷积，其实就是把一个函数卷(翻)过来，然后与另一个函数求内积。

对应到不同方面，卷积可以有不同的解释：g 既可以看作我们在深度学习里常说的核(Kernel)，也可以对应到信号处理中的滤波器(Filter)。而 f 可以是我们所说的机器学习中的特征(Feature)，也可以是信号处理中的信号(Signal)。f和g的卷积 (f∗g)就可以看作是对f的加权求和。下面两个动图就分别对应信号处理与深度学习中卷积操作的过程。